समस्यामूलक | रिबन के रंग | हिंदुस्तान टाइम्स

पिछले सप्ताह की गणितीय पहेलियों में से एक मेरे अनुमान से कहीं अधिक कठिन साबित हुई, जिसमें कुछ अनुभवी समस्या समाधानकर्ता असफल हो गए। दूसरी ओर, भारतीय राज्यों का क्रॉसवर्ड शायद भरने में कठिन था, हालाँकि इसे हल करना आसान था।

इस सप्ताह की दोनों पहेलियाँ तर्क श्रेणी में आती हैं, दूसरी में संख्याएँ शामिल हैं।

#पहेली 185.1

एक ऐसे परिवार से मिलें जिसके माता-पिता ने कल्पनापूर्वक अपनी चार बेटियों के नाम लिली, लीला, लीना और लुलु रखे हैं। वे एक जन्मदिन की पार्टी में भाग ले रहे हैं, प्रत्येक ने एक ठोस रंग का चमकीला रिबन पहना हुआ है (अर्थात कोई बिंदु, धारियाँ या किसी भी प्रकार का मुद्रित पैटर्न नहीं)।

(1) लिली की दो बहनें हैं जो लाल रिबन पहनती हैं।

(2) लीला की दो बहनें हैं जिन्होंने नीला रिबन नहीं पहना है।

(3) लीना की दो बहनें हैं जिनके रिबन या तो लाल या नारंगी हैं (यह लाल-लाल, नारंगी-नारंगी, या लाल-नारंगी हो सकते हैं)।

(4) लुलु की कम से कम एक बहन ने नारंगी रिबन पहना हुआ है।

(5) लुलु की कम से कम एक बहन ने नीला रिबन पहना हुआ है।

इस जानकारी से सभी चार रिबन का रंग निर्धारित करना संभव नहीं है।

दो खिलाड़ियों के बीच एक खेल में, प्रत्येक खिलाड़ी बारी-बारी से एक नंबर पुकारता है। नियम: पहला खिलाड़ी 1 से 10 तक किसी भी नंबर पर कॉल कर सकता है। दूसरा खिलाड़ी फिर एक नंबर पर कॉल करता है जो पहले नंबर से कम से कम 1 के अंतर से अधिक होना चाहिए लेकिन 10 से अधिक नहीं। उदाहरण के लिए, ए 1 पर कॉल करता है, बी 10 पर कॉल करता है, सी 15 पर कॉल करता है, डी 25 पर कॉल करता है और इसी तरह। जो व्यक्ति 100 पर कॉल करता है वह जीत जाता है।

#पहेली 184.1

हाय कबीर,

मान लीजिए S पहले गूढ़ व्यक्ति द्वारा चढ़ी ट्रेन की गति है। वह ट्रेन A से 120 किमी के बाद और ट्रेन B से 140 किमी के बाद X से मिलता है। माना कि वह बिंदु जहां ट्रेन B से मिलता है वह Y से D किमी की दूरी पर है। मान लीजिए Y से X तक चलने वाली ट्रेनों की गति SA और SB है। इसलिए,

120/एस = (डी + 20)/एसए, और 140/एस = डी/एसबी

अर्थात्, SA = (D + 20)S/120 और SB = D x S/140

=> एसए/एसबी = 7(डी + 20)/(6डी)

दूसरा गूढ़ व्यक्ति मध्यबिंदु पर ट्रेन बी से मिलता है। इसलिए, उसके द्वारा चढ़ी ट्रेन की गति SB के बराबर है। वह Y से 126 किमी दूर एक बिंदु पर ट्रेन A से मिलती है। इसलिए,

(डी +140 – 126)/एसबी = 126/एसए

=> एसए/एसबी = 126/(डी + 14)

SA/SB के दो भावों को समान करने पर हमें प्राप्त होता है,

126/(डी + 14) = 7(डी + 20)/(6डी)

=> 108डी = (डी + 20)(डी + 14)

=> 108डी = डी2 + 34डी + 280

=> डी2 – 74डी + 280 = 0

=> (डी – 70)(डी – 4) = 0

दो संभावित समाधान हैं: डी = 70 या डी = 4

X और Y के बीच की दूरी = 120 + 20 + D, जो या तो 210 किमी या 144 किमी के बराबर है

पहले समाधान में, SA = (70 + 20)S/120 = 3S/4, और SB = 70 x S/140 = S/2

दूसरे समाधान में, SA = (4 + 20)S/120 = S/5, और SB = 4 x S/140 = S/35

पहला समाधान अधिक उचित प्रतीत होता है।

– प्रोफेसर अंशुल कुमार, नई दिल्ली

***

प्रिय कबीर,

माना कि P और Q के बीच की दूरी D किमी है। माना समतल पटरी पर ट्रेन की गति v किमी/मिनट है, इसलिए चढ़ाई की गति 0.6v है।

मान लीजिए कि ट्रेन को अपने निर्धारित समय के अनुसार अपने गंतव्य तक पहुंचने में T मिनट का समय लगता है।

पूरी तरह से सपाट ट्रैक पर विचार करने पर हमें जो मिलता है

डी= वी*(टी – 120)

मौजूदा ट्रैक को ध्यान में रखते हुए हमें मिलता है

डी= वी*60 + 0.6वी*(टी – 60)

= 24v + 0.6vT

यह मानते हुए कि चढ़ाई का रास्ता मौजूदा बिंदु से 50 किमी दूर शुरू होता है:

डी= 60 वी + 50 + 0.6 वी*(टी – 80 – 60 – 50/वी)

= 0.6vT – 23v + 20

(2) और (3) को बराबर करने पर हमें प्राप्त होता है

24v + 0.6vT = 0.6vT – 23v + 20

वी = 5/12

पहले दो समीकरणों में इस मान का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है

डी= (5/12)*(टी-120) = 5टी/12 – 50, और

डी= 24*5/12 + 0.6*5टी/12 = 10 + टी/4

(4) और (5) को बराबर करने पर हमें प्राप्त होता है

5टी/12 – 50 = 10 + टी/4

=> टी=360 मिनट। इसलिए,

डी = 5*360/12 – 50

= 150 – 50 = 100 किमी

-यादवेंद्र सोमरा, सोनीपत

#पहेली 184.2

#पहेली 184.1 में, X और Y के बीच की दूरी 210 किमी है (एक अन्य समाधान भी है, 144 किमी)। P और Q के बीच की दूरी 100 किमी है

#पहेली 184.2 में क्रॉसवर्ड ग्रिड को भरने के लिए सामान्य कौशल लेकिन संचार के असाधारण कौशल की आवश्यकता होती है। तो मैं पास हो गया.

– कंवरजीत सिंह, मुख्य आयकर आयुक्त, सेवानिवृत्त

उपरोक्त मेल में उठाया गया अंतिम बिंदु संभवतः वैध है। एक पाठक ने मुझसे क्रॉसवर्ड ग्रिड की एक बड़ी छवि मेल करने का अनुरोध किया, जो मैंने किया। ऊपर भरा हुआ क्रॉसवर्ड मेरा अपना है, और इसे हल करने वाले पाठकों को हमेशा की तरह श्रेय दिया जाएगा। नीचे दी गई सूची में, जिसने भी दो ट्रेन पहेलियों में से किसी एक को हल किया है, उसे श्रेय दिया जा रहा है।

दोनों पहेलियाँ हल की गईं: प्रोफेसर अंशुल कुमार (दिल्ली), यादवेंद्र सोमरा (सोनीपत), सबोरनी जाना (मुंबई), शिशिर गुप्ता (इंदौर), विनोद महाजन (दिल्ली)

हल की गई पहेली 184.1: कंवरजीत सिंह (मुख्य आयकर आयुक्त, सेवानिवृत्त), डॉ. सुनीता गुप्ता (दिल्ली)

हल की गई पहेली 184.2: अजय अशोक (दिल्ली)

समस्याएँ अगले सप्ताह वापस आएँगी। कृपया अपने उत्तर शुक्रवार दोपहर तक समस्याविज्ञान@hindustantimes.com पर भेजें